数列の極限値計算

数列の極限値を計算する方法はいくつか考えられる。


あ、もちろん、一般項がわかってる場合の話。



例えば、以下の方法。

1. 「上に有界かつ単調増加」または「下に有界かつ単調減少」を示す。
   
2. 極限値をαと仮定してn→∞の時、a_n+1=a_n=αよりαについて方程式を解く。
   

高校生の頃は、

1. 「上に有界かつ単調増加」または「下に有界かつ単調減少」を示す。
   

この収束判定の必要性をなかなか実感することができなかったなぁ。

まぁ、いろいろ原因はあるんだろうけど、無限に続く数列を最初に扱う際、
「数列が収束しない」可能性についてしっかりと強調されるべきなのだろう。
そして、高校生がわかる範囲で凡例を示しておく必要がある。

いや、当時、私が授業をちゃんと聞いていなかった可能性は否定できないが(汗)




しかし、まぁ、上記の方法はちょっと面倒臭い。
そこで、今回のメインは以下の方法。

0 < λ < 1である実数λに対して n > N なるすべての自然数 n について

を満たす自然数 N が存在するならば

である。

αとの差がn項目よりn+1項目より小さければ良いのだから、
イメージとしては、N 項目以降、αとの差が徐々に0に近づいていればOKという発想。

これなら、収束することを一旦示してから……なんて面倒なことをしなくてもいいわけだ。

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[参考]


微分積分学入門　横田 壽
http://next1.cc.it-hiroshima.ac.jp/MULTIMEDIA/calcmulti/calcmulti.html


[数式] 数式画像作成ツール