ネイピア数, Napier's constant

対数を研究していたネイピアさんの名前がついているけれど、
実際には、これが無理数であることを示した
オイラー(Euler)さんの名前からeを拝借して名付けられた自然対数の底、e。


高校でよく見る定義は極限によるものだが、
微分しても元に戻るようになる指数関数をe^xと定義する、とか、
まぁ、種々の定義があるらしい。

採用する定義によっては、
対数と指数の定義が循環してしまうなど、問題になることがあるので、
厳密に数学を扱う場合には注意が必要だ。

さて、このネイピア数。

上記の定義で出発する場合、
二項定理でバラバラにすれば3より小さいことを示すことができるので、
上に有界であり、収束することが確認できる。


ただし、上記の定義のnは正の整数であるため、nが実数でもeに収束するかどうかは別の問題である。


この辺り、高校では至極曖昧なまま習った気がするが、
一般には数列で収束しても実数で収束するとは限らないので、十分注意が必要。

挟みうちの定理を用いることで、証明することができる、が、
これを高校生に説明するのは骨だな……いや、挟みうちの定理(原理)は追々ならうけれど、
eが出てくる段階でこの概念は十分には伝えられないだろう。

やっぱり曖昧なままにしておいて、大学でキッチリ習ってもらうのが筋なのかな。

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[参考]

微分積分学入門　横田 壽
http://next1.cc.it-hiroshima.ac.jp/MULTIMEDIA/calcmulti/calcmulti.html

Wikipedia - 2009.05.19アクセス
http://ja.wikipedia.org/wiki/ネイピア数
http://ja.wikipedia.org/wiki/ネイピア数の無理性の証明



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